Sistema de ecuaciones. Metodo de Gauss
Metodo de Gauss.
Vamos a desarrollar un metodo para resolver sistemas de ecuaciones que
se llama metodo matricial. No penseis que es algo exotico: no es mas
que taquigrafa y sentido comun. Una matriz es simplemente una caja de
numeros¯. As, por ejemplo, podemos hacer la siguiente conversion:
(x + y + z = 10
5x + 10y + 20z = 90
x 3y = 0
!
0
@
1 1 1 10
5 10 20 90
1 3 0 0
1
A
>Ves? No hemos hecho mas que meter los coe cientes del sistema en una caja.
Seguramente solo en la tercera ecuacion habra duda de como han aparecido los
numeros: 1¯ por x, 3¯ por 3y, 0¯ por que no hay z. >Se ve?
E1. Traduce a una matriz el sistema de ecuaciones, y a un sistema en x,
y y z la matriz.
(
2x + y = 1
x z = 2
2x + y + z = 4
0
@
0 4 2 2
1 1 4 5
2 3 1 0
1
A
La idea basica de la solucion es que hay un tipo de sistemas que son especialmente
faciles. Son los sistemas escalonados¯. Un ejemplo (en notacion
normal y matricial):
(
3x + 2y + z = 11
y + 2z = 5
2z = 6
!
0
@
3 2 1 11
0 1 2 5
0 0 2 6
1
A
Este sistema se resuelve de ®abajo hacia arriba¯. La ultima ecuacion es la
mas sencilla: 2z = 6, por tanto z = 3. Ahora podemos resolver la ecuacion
superior: y + 2z = 5, porque sabemos el valor de z. As, y + 6 = 5 y, por
tanto, y = 1. Por ultimo, nos vamos a la ecuacion superior: 3x + 2y + z = 11,
de la que conocemos el valor de y y el de z: 3x + 2 + 3 = 11, por tanto x = 2.
Facil, >no?
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Sistemas de Ecuaciones y Matrices. 2
Desgraciadamente, la mayora mas absoluta de los sistemas no son escalonados.
Por tanto, tenemos que aprender a transformarlos. Usaremos las
siguientes reglas basicas de resolucion:
Una la de una matriz se puede multiplicar por cualquier numero. Es
decir, que si tenemos x + y = 2, entonces 2x + 2y = 4.
Se puede sumar o restar una la a cualquier otra. En otras palabras, si
x + y = 4 y 2x + 3y = 1, entonces 3x + 4y = 5, >no?
Fijaos otra vez en la matriz del sistema escalonado. Tiene todo ceros
debajo de la diagonal, >no es as? Veamos como podemos fabricar¯ esos
ceros. Partamos ahora del siguiente sistema.
(
x + y + z = 6
x + 2y z = 2
2x y + 3z = 9
!
0
@
1 1 1 6
1 2 1 2
2 1 3 9
1
A
Ahora supongamos que queremos anular el 1¯ de la segunda la (no nos
importa que pase con el resto). Podemos hacerlo restando a la segunda la la
primera:
0
@
1 1 1 6
1 2 1 2
2 1 3 9
1
A
F2F1
0
@
1 1 1 6
0 1 2 4
2 1 3 9
1
A
Cada vez que hagamos una transformacion marcaremos el cambio de esa manera.
<Acordaos de hacer el cambio a toda la la! Ahora vamos a machacar el
2¯ de la tercera la restandole el doble de la primera.
0
@
1 1 1 6
0 1 2 4
2 1 3 9
1
A
F32F1
0
@
1 1 1 6
0 1 2 4
0 3 1 3
1
A
Bien. Para que el sistema quede escalonado solo queda quitarnos de encima el
3¯ de la tercera la. Podemos hacerlo sumandole tres veces la segunda:
0
@
1 1 1 6
0 1 2 4
0 3 1 3
1
A
F3+3F2
0
@
1 1 1 6
0 1 2 4
0 0 5 15
1
A